题目内容
5．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．①∠AEB的度数为60°
②猜想线段AD，BE之间的数量关系为：AD=BE，并证明你的猜想．
（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM 为△DCE中DE边上的高，连接BE，请求出∠AEB的度数及线段CM，AE，BE 之间的数量关系．
分析 （1）①根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质计算即可；
②根据全等三角形的性质解答；
（2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质计算即可．
解答 解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CEB=∠CDA=120°，
∴∠AEB=60°，
故答案为：60°；
②AD=BE，
证明：∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
故答案为：AD=BE；
（2）∠AEB=90°，AE-BE=2CM，
证明：∵△DCE是等腰直角三角形，CM是中线，
∴CM=DM=EM=$\frac{1}{2}$DE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CDA=∠CEB，
∵∠CDA=135°，
∴∠AEB=135°-45°=90°，
∴BE=AD，
∴AE-AD=DE=2CM，
∴AE-BE=2CM．
点评 本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质是解题的关键．
练习册系列答案
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