题目内容
设n为正整数，A=2004n，A被7除余数为2，A被11除余数为3，则n的最小值是 ．
考点：带余除法
专题：探究型
分析：先把2002化为7×11×26的形式，令A=2004n=（7a+2）n=（11b+2）n，再分别把=（7a+2）n和A=（11a+2）n进行展开，把n=0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10代入进行检验即可．
解答：解：∵2002=7×11×26，则A=2004n=（7a+2）n=（11b+2）n
其中a=11×26，b=7×26均为整数．
对A=（7a+2）n进行展开，按a的降幂排列，显然有a的项必有7的出现，也就是说展开式除常数项外全部能被7整除．余数只看常数项即可．
同理，对A=（11a+2）n进行展开．也可以得到，余数只看常数项即可．
展开后的常数项均为2n，即2的n次方．
显然，2n=7x+2且2n=11y+3
这里x和y均为整数．
20=1，不合题意，
21=2，不合题意，
22=4，不合题意，
23=8，不合题意，
24=16，不合题意，
25=32，不合题意，
26=64，不合题意，
27=128，不合题意，
28=256，不合题意，
29=512，不合题意，
210=1024，合题意．
故n的最小值为10．
故答案为：10．
其中a=11×26，b=7×26均为整数．
对A=（7a+2）n进行展开，按a的降幂排列，显然有a的项必有7的出现，也就是说展开式除常数项外全部能被7整除．余数只看常数项即可．
同理，对A=（11a+2）n进行展开．也可以得到，余数只看常数项即可．
展开后的常数项均为2n，即2的n次方．
显然，2n=7x+2且2n=11y+3
这里x和y均为整数．
20=1，不合题意，
21=2，不合题意，
22=4，不合题意，
23=8，不合题意，
24=16，不合题意，
25=32，不合题意，
26=64，不合题意，
27=128，不合题意，
28=256，不合题意，
29=512，不合题意，
210=1024，合题意．
故n的最小值为10．
故答案为：10．
点评：本题考查的是带余数的除法，根据题意把2004n化为（7a+2）n=（11b+2）n的形式是解答此题的关键．
练习册系列答案
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