Question

方程x2+

2

x-1=0的解可视为函数y=x+

2

的图象与函数y=

1

x

的图象交点的横坐标．若方程x⁴+ax-4=0的各个实根x₁，x₂，…，x_k（k≤4）所对应的点(xi，

4

xi

)（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：原方程等价于 x3+a=

4

x

，分别作出左右两边函数的图象：分a＞0与a＜0讨论，可得答案．

解答：解：方程的根显然x≠0，原方程等价于x3+a=

4

x

，
原方程的实根是曲线y=x³+a与曲线y=

4

x

的交点的横坐标，
而曲线y=x³+a是由曲线y=x³向上或向下平移|a|个单位而得到的，
若交点(xi，

4

xi

)（i=1，2，k）均在直线y=x的同侧，
因直线y=x与y=

4

x

交点为：（-2，-2），（2，2）；
所以结合图象可得

a＞0 x3+a＞-2 x＜-2

或

a＜0 x3+a＜2 x＞2

，
解得a＞6或a＜-6．
故答案为：a＞6或a＜-6．

点评：本题综合考查了反比例函数，反比例函数与一次函数图象的交点问题，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．