题目内容
9．如图1，直角三角形AOB中，∠AOB=90°，AB∥x轴，OA=2OB，AB=5，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点A．（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图2，P（x，y）在（1）中的反比例函数图象上，其中1＜x＜8，连接OP，过点O作OQ⊥OP，且OP=2OQ，连接PQ，设点Q坐标为（m，n），其中m＜0，n＞0，求n与m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．
分析 （1）设AB与y轴的交点为点D，由AB∥x轴可得出∠ADO=∠ODB=90°，根据∠AOB=90°，可得出∠B+∠A=90°，通过角的计算即可得出∠BOD=∠A，从而得出△ADO∽△ODB，再根据相似三角形的性质即可得出$\frac{BD}{OD}=\frac{OD}{AD}$=$\frac{OB}{OA}$，结合OA=2OB，AB=5，AB=AD+BD即可求出OD、AD的长度，从而得出点A的坐标，根据点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数解析式；
（2）过点P作PM⊥x轴于点M，过点Q作QN⊥x轴于点N，通过角的计算找出∠POM=∠OQN，结合∠ONQ=∠PMO=90°即可证出△POM∽△OQN，根据相似三角形的性质即可得出$\frac{PM}{ON}=\frac{OM}{QN}=\frac{OP}{QO}$，再结合点P、Q的坐标特征即可得出m、n之间的关系式，结合1＜x＜8即可找出m的取值范围．
解答 解：（1）设AB与y轴的交点为点D，如图3所示．
∵AB∥x轴，
∴OD⊥AB，
∴∠ADO=∠ODB=90°．
∵∠AOB=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∵∠B+∠BOD=90°，
∴∠BOD=∠A，
∴△ADO∽△ODB，
∴$\frac{BD}{OD}=\frac{OD}{AD}$=$\frac{OB}{OA}$．
∵OA=2OB，AB=5，AB=AD+BD，
∴OD=2，AD=4，
∴点A的坐标为（4，2），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点A，
∴2=$\frac{k}{4}$，解得：k=8，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{8}{x}$．
（2）过点P作PM⊥x轴于点M，过点Q作QN⊥x轴于点N，如图4所示．
∵QN⊥x轴，PM⊥x轴，
∴∠ONQ=∠PMO=90°，
∵∠POQ=90°，
∴∠QON+∠POM=90°，∠QON+∠OQN=90°，
∴∠POM=∠OQN，
∴△POM∽△OQN，
∴$\frac{PM}{ON}=\frac{OM}{QN}=\frac{OP}{QO}$．
∵OP=2OQ，P（x，y），Q（m，n），且1＜x＜8，m＜0，n＞0，
∴ON=-m=$\frac{1}{2}$PM=$\frac{1}{2}$y，QN=n=$\frac{1}{2}$OM=$\frac{1}{2}$x，
∵1＜x＜8，
∴1＜y＜8，
∵m=-$\frac{1}{2}$y，
∴-4＜m＜-$\frac{1}{2}$．
∵P（x，y）在（1）中的反比例函数图象上，
∴x•y=8（1＜x＜8），
∴-4mn=8，
∴n=-$\frac{2}{m}$（-4＜m＜-$\frac{1}{2}$）．
点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及角的计算，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）利用x、y表示出m、n．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的性质找出边与边之间的关系是关键．
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