Question

16．将矩形ABCO如图放置在平面直角坐标系中，∠ABO的平分线BE交x轴于点D，交y轴于点E，线段OA，OC（OA＜OC）的长是一元二次方程x²-21x+108=0的两根，请你解答下列问题：
（1）求点B的坐标；
（2）点F在线段OB上，若△ADF的面积为8，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点F，求k的值；
（3）在（2）的条件下，点P是直线BC上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使点B，F，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出已知方程的解得到OA与OC的长，即可确定出B的坐标；
（2）由四边形ABCO是矩形，得到四个角为直角，AB与CE平行，利用勾股定理求出BO的长，根据BE为角平分线，得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换及等角对等边得到BO=EO，根据AB与OE平行得到三角形ABD与三角形ODE相似，由相似得比例求出AD的长，根据三角形ADF面积求出F的纵坐标，过F作FM垂直于x轴，进而确定出三角形FOM与三角形BAO相似，由相似得比例求出OM的长，确定出F的坐标，即可求出k的值；
（3）如图所示，四边形Q₁FBC，四边形Q₂FCB，四边形A₃BFC都为菱形，求出相应Q坐标即可．

解答 解：（1）方程x²-21x+108=0，
变形得：（x-9）（x-12）=0，
解得：x₁=9，x₂=12，
∵OA＜OC，
∴OA=9，OC=12，
∴点B的坐标为（-9，12）；
（2）∵四边形ABCO是矩形，
∴AB∥CE，∠BAO=90°，
在Rt△ABO中，根据勾股定理得：BO=$\sqrt{A{O}^{2}+A{B}^{2}}$=15，
∵BE平分∠ABO，
∴∠ABD=∠OBD，∠ABD=∠DEO，
∴∠ABD=∠OBD=∠DEO，
∴BO=OE=15，
∵△ABD∽△OED，
∴$\frac{AD}{9-AD}$=$\frac{AB}{OE}$=$\frac{12}{15}$=$\frac{4}{5}$，
∴AD=4，
∵S_△ADF=8，点F在BO上，
∴$\frac{1}{2}$×4×y_F=8，
∴y_F=4，
过点F作FM⊥AO于点M，
∴FM∥AB，
∴△FMO∽△BAO，
∴$\frac{OM}{OA}$=$\frac{FM}{AB}$，即$\frac{OM}{9}$=$\frac{4}{12}$，
∴OM=3，
∴点F的坐标为（-3，4），
∴k=xy=-12；
（3）如图所示，满足题意得Q坐标分别为Q₁（7，4）；Q₂（-13，4）；Q₃（-3，20）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，勾股定理，矩形的性质，坐标与图形性质，以及待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．