Question

6．某工厂现有甲种原材料380千克，乙种原材料290千克，计划用这两种原材料生产A、B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原材料9千克，乙种原材料3千克，可获利700元；生产一件B产品需要甲种原材料4千克，乙种原材料10千克，可获利1200元．设生产A、B两种产品总利润为y元，其中A种产品生产件数是x．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）如何安排A、B两种产品的生产件数，使总利润y有最大值，并求出y的最大值，请指出此时原材料是否有结余．

Answer 1

分析 （1）根据等量关系：利润=A种产品的利润+B种产品的利润，可得出函数关系式；
（2）这是一道只有一个函数关系式的求最值问题，可根据等量关系：总利润=A种产品的利润+B种产品的利润，可得出函数关系式，然后根据函数的性质确定自变量的取值范围，由函数y随x的变化求出最大利润．

解答 解：（1）y=700x+1200（50-x），
即y=-500x+60000；           
（2）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{9x+4（50-x）≤380}\\{3x+10（50-x）≤290}\end{array}\right.$
解得：30≤x≤36，
∵y=-500x+60000，k=-500＜0，
∴y随x的增大而减小，
当x=30时，y_最大=45000，
生产A种产品30件，B种产品20件，总利润y有最大值．y_最大=45000元．              
使用甲种原材料9×30+4×20=350（千克），结余30千克．
使用乙种原材料3×30+10×20=290（千克），恰好用尽．

点评 本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．