Question

9．在⊙O中，直径AB=4，弦AC=2$\sqrt{3}$，弦AD=2，求$\widehat{CD}$的度数．

Answer 1

分析 连接BC、BD，如图，利用圆周角得到∠ACB=∠ADB=90°，再利用正弦定义分别求出∠ABC=60°，∠ABD=30°，则根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC=120°，∠AOD=2∠ABD=60°，根据圆心角、弧、弦的关系得到$\widehat{AC}$的度数为120°，$\widehat{AD}$的度数为60°，然后分类讨论计算$\widehat{CD}$的度数．

解答 解：连接BC、BD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，∴sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=120°，
∴$\widehat{AC}$的度数为120°；
在Rt△ADB中，∴sin∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠ABD=30°，
∴∠AOD=2∠ABD=60°，
∴$\widehat{AD}$的度数为60°；
当AC和AD在AB的两旁时，$\widehat{CD}$的度数=$\widehat{AC}$的度数-$\widehat{AD}$的度数=120°-60°=60°；
当AC和AD在AB的同旁时，$\widehat{CD}$的度数=$\widehat{AC}$的度数+$\widehat{AD}$的度数=120°+60°=180°；
即$\widehat{CD}$的度数为60°或180°．

点评 本题考查了垂径定理：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理定理和分类讨论的思想．