Question

20．抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点是点A（3，0），其部分图象如图，则下列结论：
①2a+b=0；
②b²-4ac＜0；
③一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的另一个解是x=-1；
④点（x₁，y₁），（x₂，y₂）在抛物线上，若x₁＜0＜x₂，则y₁＜y₂．
其中正确的结论是①③（把所有正确结论的序号都填在横线上）

Answer 1

分析 ①根据对称轴列式可得；
②由抛物线与x轴交点的个数判定；
③由对称性得；
④分四种情况进行讨论：因为对称轴的左右增减性不同，分为在同侧，两侧时，两侧时还要分在对称点左右时，与图形相结合作出判断．

解答 解：①因为二次函数的对称轴为x=1，所以-$\frac{b}{2a}$=1，即-b=2a，2a+b=0，故①正确；
②由图象知抛物线与x轴有两个不同的交点，即一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根，此时b²-4ac＞0，故②错误；
③由于抛物线的图象与x轴的一个交点是A（3，0），对称轴为x=1，根据抛物线的对称性知，抛物线与x轴另一个交点是（-1，0），即一元二次方程ax²+bx+c=0的另一个解是x=-1，故③正确；
④分四种情况：（1）当0＜x₂＜1时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，此时 y₁＜y₂；（2）因为对称轴是x=1，所以当1-x₁=x₂-1时对称，当1＜x₂＜2-x₁时，y₁＜y₂；（3）当x₂=2-x₁时，y₁=y₂，（4）当x₂＞2-x₁时，y₁＞y₂；所以④错误．
故答案为：①③．

点评 本题考查了抛物线与x轴交点及与二次函数图象与系数的关系，做好本题要知道以下几点：
①当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．⑤抛物线对称轴x=-$\frac{b}{2a}$；⑥a＞0时，抛物线对称轴左侧，y随x的增大而增大，右侧，y随x的增大而减小；
a＜0时，抛物线对称轴右侧，y随x的增大而增大，左侧，y随x的增大而减小；第⑥条在应用时较难，注意利用数形结合的思想．