Question

19．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，3）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁…，按这样的规律进行下去，第4个正方形的边长为$\frac{64}{27}\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 根据勾股定理求出AD，进而得到AB的长度，利用三角形相似的判定，证明△ABA₁∽△DOA，得出BA₁的长度，进而得到CA₁的长度，同理可得第三个正方形，第四个正方形的边长．

解答 解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，3），
∴OA=1，OD=3，
∵∠AOD=90°，
∴AD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，∠ODA+∠OAD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，AB=AD=$\sqrt{10}$，
∴∠ODA₁=90°，∠OAD+∠BAA₁=90°，
∴∠ODA=∠BAA₁，
∴△ABA₁∽△DOA，
∴$\frac{B{A}_{1}}{OA}=\frac{AB}{OD}$，即$\frac{B{A}_{1}}{1}=\frac{\sqrt{10}}{3}$，解得：BA₁=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴CA₁=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$，
同理，可得：C₁A₂=$（\frac{4}{3}）^{2}\sqrt{10}$，
∴第4个正方形的边长为$（\frac{4}{3}）^{3}\sqrt{10}$=$\frac{64}{27}\sqrt{10}$，
故答案为：$\frac{64}{27}\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查了点的规律，综合运用了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定等知识，能熟练运用三角形的性质和判定求出相关线段的长度是解决此题的关键．