Question

10．如图，正方形ABCD中对角线BD上任意一点P，PM⊥PN分别交AB，BC于M、N．
（1）求证：PM=PN；
（2）连接MN交BD于点Q，如果PQ=3，BQ=2，求PN的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作PE⊥BC于E，PF⊥AB于F．只要证明△PEN≌△PFM即可解决问题；
（2）由△PNQ∽△PBN，推出$\frac{PN}{PB}$=$\frac{PQ}{PN}$，可得PN²=PQ•PB=15，由此即可解决问题；

解答 （1）证明：如图1中，作PE⊥BC于E，PF⊥AB于F．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PBC=∠PBA=45°，∠ABC=90°，
∵PE⊥BC，PF⊥AB，
∴PE=PF，
∵∠FBE=∠PFB=∠PEB=90°，
∴四边形PEBF是矩形，
∴∠EPF=∠MPN=90°，
∴∠MPF=∠NPE，∵∠PEN=∠PFM=90°，
∴△PEN≌△PFM，
∴PM=PN．

（2）解：如图2中，

由（1）可知△PMN是等腰直角三角形，
∴∠PNQ=∠PBN，∵∠NPQ=∠BPN，
∴△PNQ∽△PBN，
∴$\frac{PN}{PB}$=$\frac{PQ}{PN}$，
∴PN²=PQ•PB=15，
∴PN=$\sqrt{15}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．