Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD做为直径作⊙O交AC于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F，且BD=BF．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面积．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OE，求出OE∥BF推出∠AEO=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）证△AOE=△ABC，得出关于r的方程，求出方程的解即可．

解答：证明（1）连接OE，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∵BD=BF，
∴∠IDF=∠F，
∴∠OED=∠F，
∴OE∥BF，
∴∠AEO=∠ACB=90°，
∴AC与⊙O相切；

（2）解：∵由（1）可知，∠AEO=∠ACB，又∠A=∠A，
∴△AOE=△ABC，
∴

OE

BC

=

AO

AB

，
设⊙O的半径为r，则

r

6

=

r+4

2r+4

，
解得r=4（负数舍去），
∴⊙O的面积为π×4²=16π．

点评：本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出∠AEO=90°和得出关于r的方程，用了方程思想难度适中．