Question

4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1
（1）求BD的长；
（2）若△DCN的面积为4，求四边形ABCM的面积．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形CNB相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；
（2）由相似三角形相似比为1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面积，则由线段之比，得到△MND与△CNB的面积，从而得到S_△ABD=S_△BCD=S_△BCN+S_△CND，最后由S_{四边形ABNM}=S_△ABD-S_△MND求解．

解答 解：（1）∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，
∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，
∴△MND∽△CNB，
∴$\frac{MD}{CB}$=$\frac{DN}{BN}$，
∵M为AD中点，
∴MD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，即$\frac{MD}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DN}{BN}$=$\frac{1}{2}$，
即BN=2DN，
设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x-1，
∴x+1=2（x-1），
解得：x=3，
∴BD=2x=6；
（2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，
∴MN：CN=DN：BN=1：2，
∴S_△MND=$\frac{1}{2}$S_△CND=2，S_△BNC=2S_△CND=8．
∴S_△ABD=S_△BCD=S_△BCN+S_△CND=8+4=12，
∴S_{四边形ABNM}=S_△ABD-S_△MND=12-2=10．
∴S_{四边形ABCM}=18．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．