Question

14．如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形．

Answer 1

分析 由∠A=120°，AB=AC，易得∠B=∠C=30°，从而得∠EDF=60°，因为D是BC的中点，易证△BDE≌△CDF，由全等三角形的性质得DE=DF，由等边三角形的判定得△DEF是等边三角形．

解答 证明：∵∠A=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∴∠BDE=∠CDF=60°，
∴∠EDF=60°，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△BDE与△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{BD=CD}\\{∠BDE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴△DEF是等边三角形．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质及判定定理，等边三角形的判定，找出等边三角形的判定条件是解答此题的关键．