Question

20．如图①，A（8，6），AB⊥y轴于B点，点R从原点O出发，沿y轴正方向匀速运动，同时点Q从点A出发，沿线段AB向点B以相同的速度匀速运动，当点Q到达点B时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）点B的坐标为（0，6）；
（2）过R点作RP⊥OA交x轴于点P，当点R在OB上运动时，△BRQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，如图②，求点R的运动速度；
（3）如果点R、Q保持（2）中的速度不变，在整个运动过程中，设△PRQ与△OAB的重叠部分的面积为y，请求出y关于t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）利用直线垂直于y轴，得到该直线上的点纵坐标相等即可；
（2）根据题意列出方程S=$\frac{1}{2}$（6-2x）（8-2x），求解即可；
（3）先求出点R的运动速度为2，确定出0≤t_总≤4，再分两种情况计算用面积的和差即可．

解答 解：（1）A（8，6），AB⊥y轴于B点，
则B（0，6）．
故答案为（0，6）；
（2）设运动速度为x，
∵△BRQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分
∴S=$\frac{1}{2}$（6-2x）（8-2x），
∴$\frac{1}{2}$（6-2x）（8-2x）=4，
∴x₁=2，x₂=5（舍），
（3）如图①，∵PR⊥OA，
∴∠ROA+∠ORP=90°．
∵∠ROA+∠BAO=90°，
∴∠ORP=∠BAO
∴tan∠BAO=$\frac{6}{8}$，tan∠ORP=$\frac{OP}{OR}$，
∴$\frac{OP}{2t}=\frac{6}{8}$，
∴OP=$\frac{3}{2}$t，
∵Q（8-2t，6），
∴$\frac{OP}{AQ}=\frac{3}{4}$，
∵△OPM∽△AQM，
∴△OPM的边OP与△AQM的边AQ上的高的比为$\frac{3}{4}$，
∴△AQM的边AQ上的高为$\frac{24}{7}$，
∴y=S_△ABO-S_△AQM-S_△BRQ-S_△ORN=$\frac{250-40\sqrt{30}}{175}$t²+t，
设点R的运动速度为x，当t=2时，$\frac{1}{2}$（8-2x）（6-2x）=4，
∴x₁=2，x₂=5（舍），
即：点R的运动速度为2，
∴0≤t_总≤4，
①当0≤t≤3时，
y=S_△AOB-S_△BQR-S_△AQN-S_△RMO
=$\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{1}{2}$（8-2t）（6-2t）-$\frac{1}{2}$×2t×$\frac{24}{7}$-×$\frac{1}{2}$×$\frac{6}{5}$t×$\frac{8}{5}$t
=-$\frac{74}{25}$t²+$\frac{74}{7}$t．
②当3＜t≤$\frac{25}{7}$时，
y=$\frac{27}{50}$t²-$\frac{87}{7}$t+$\frac{75}{2}$
③当$\frac{25}{7}$＜t≤4时，
y=-$\frac{27}{50}$t²+$\frac{87}{7}$t-$\frac{75}{2}$

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了运动中线段的表示，几何图形的面积的计算，解本题的关键是用时间表示出线段，难点是计算量太大．