Question

6．阅读材料，解答问题：
若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）下列各组二次函数中，是“同簇二次函数”的是③（填序号）；
①y=x²+1与y=2x²；②y=x²+2x+2与y=2（x-1）²+1；③y=-x²-2x+3与y=-$\frac{1}{3}$（x+1）²+4
（2）已知关于x的二次函数y₁=2x²-4mx+2m²+1和y₂=ax²+bx+5，其中y₁的图象经过点A（1，1），若y₁+y₂与y₁为“同簇二次函数”，求函数y₂的表达式．

Answer 1

分析 （1）分别求得每一组两个函数的顶点即可判断；
（2）根据待定系数法求得y₁的解析式，即可求得y₁+y₂=（2+a）x²+（b-4）x+8，根据同簇二次函数的概念得出2+a＞0，-$\frac{b-4}{2（2+a）}$=1，$\frac{4（2+a）×8-（b-4）^{2}}{4（2+a）}$=1，即可求得a=5，b=-10，从而求得函数y₂的表达式．

解答 解：（1）∵①y=x²+1与y=2x²开口都是向上，y=x²+1的顶点是（0，1），y=2x²的顶点是（0，0），故①不是；
∵②y=x²+2x+2与y=2（x-1）²+1开口都是向上，y=x²+2x+2=（x+1）²+1的顶点是（-1，1），y=2（x-1）²+1的顶点是（1，1），故②不是；
∵③y=-x²-2x+3与y=-$\frac{1}{3}$（x+1）²+4开口都是向下，顶点都是（-1，4），故②是；
故答案为③；
（2）∵二次函数y₁=2x²-4mx+2m²+1的图象经过点A（1，1），
∴1=2×1-4m+2m²+1，
解得m=1，
∴y₁=2x²-4x+3=2（x-1）²+1，则顶点坐标为（1，1），
∵y₂=ax²+bx+5，
∴y₁+y₂=（2+a）x²+（b-4）x+8，
∵y₁+y₂与y₁为“同簇二次函数”，
∴2+a＞0，-$\frac{b-4}{2（2+a）}$=1，$\frac{4（2+a）×8-（b-4）^{2}}{4（2+a）}$=1，
解得a=5，b=-10，
∴函数y₂的表达式为y₂=5x²-10x+5．

点评 本题考查了二次函数的性质，掌握若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”的概念是解题的关键．