Question

4．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E，F分别为线段BC，DB上的动点，DB与AE相交于点M．当AE+AF取最小值时，cos∠EAF的值是（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{3}{13}\sqrt{13}$
• D． $\frac{2}{13}\sqrt{13}$

Answer 1

分析 如图，根据垂线段最短可知，当等E与等B重合时，AF⊥BD时，AE+AF最短．只要证明∠1=∠2，根据cos∠EAF=cos∠2=$\frac{AD}{BD}$计算即可．

解答 解：如图，根据垂线段最短可知，当等E与等B重合时，AF⊥BD时，AE+AF最短．

∵∠1+∠DAF=90°，∠2+∠DAF=90°，
∴∠1=∠2，
在Rt△ADB中，BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴cos∠EAF=cos∠2=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{6}{2\sqrt{13}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，
故选C．

点评 本题考查轴对称-最短问题、矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用垂线段最短解决问题，属于中考常考题型．