Question

14．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，P是⊙O上一点，D是BP延长线上的一个点，且∠DAP=∠ABP，若AD=4，PD=2，则线段AB的长是2+2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 根据圆内接四边形的性质得到∠APD=∠ACB=60°，过D作DH⊥AP于H，解直角三角形得到PH=1，DH=$\sqrt{3}$，AH=$\sqrt{A{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\sqrt{13}$，AP=1+$\sqrt{13}$，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠APD=∠ACB=60°，
过D作DH⊥AP于H，
∴∠AHD=∠DHP=90°，
∵PD=2，
∴PH=1，DH=$\sqrt{3}$，
∴AH=$\sqrt{A{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴AP=1+$\sqrt{13}$，
∵∠ADP=∠BPA，∠DAP=∠ABP，
∴△ADP∽△ADB，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{PD}{AD}$，即$\frac{1+\sqrt{13}}{AB}$=$\frac{2}{4}$，
∴AB=2+2$\sqrt{13}$，
故答案为：2+2$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理的应用，能够熟练运用相似三角形的判定与性质是解题关键．