Question

16．如图，P为正方形ABCD内一点，PB=1，PC=2，∠BPC=135°，求PD的长．

Answer 1

分析 将△PBC沿C点顺时针旋转90°，此时B与D点重合，P点旋转到P'点，连接PP'，易证△PCP'是等腰直角三角形，所以利用勾股定理可求出P'P的长，在证明△PP'D是直角三角形．利用勾股定理求出PD的长即可．

解答 解：
将△PBC沿C点顺时针旋转90°，此时B与D点重合，P点旋转到P'点，连接PP'
∴PC=P'C=2，BP=DP′=1，
∴△PCP'是等腰直角三角形，
∴∠PP'C=45°，
∴PP'=$\sqrt{2}$PC=2$\sqrt{2}$，
又∵∠DP'C=∠BPC=135°，
∴∠PP'D=135°-45°=90°，
∴在直角△PP'D中，PD=$\sqrt{DP{′}^{2}+PP{′}^{2}}$=3．

点评 本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，解答此题的关键是利用旋转构建直角三角形，由勾股定理求解．