Question

18．已知关于x的一元二次方程x²-2（m+3）x+m²+2=0有两实数根，
（1）求m的取值范围；
（2）设方程两根分别为x₁，x₂，且满足x₁²+x₂²=|x₁x₂|+55，求m值．

Answer 1

分析 （1）根据判别式即可求出m的范围．
（2）根据根与系数的关系与条件给出的关系式即可列出关于m的等式，从而求出m的值．

解答 解：（1）由题意可知：△=4（m+3）²-4（m²+2）
=4（m²+6m+9）-4（m²+2）
=24m+28＞0，
∴m＞-$\frac{7}{6}$
（2）由根与系数的关系可知：x₁+x₂=2（m+3）
x₁•x₂=m²+2＞0，
∵x₁²+x₂²=|x₁x₂|+55，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=x₁x₂+55，
∴4（m+3）²-2（m²+2）=m²+2+55，
∴m²+24m-25=0，
∴m=-25或m=1，
由于m＞-$\frac{7}{6}$，
∴m=1

点评 本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于中等题型．