Question

2．在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过A点的直线交BC于G，CD⊥AG于D，过B作BE⊥CD交CD的延长线于E．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）若AG平分∠BAC，BF⊥AG交AG的延长线于F，线段CD、DG、BF之间有何数量关系？并证明．

Answer 1

分析 （1）先利用等角的余角相等证明∠CAD=∠BCE，再根据AAS即可证明；
（2）结论：CD+DG=BF．只要证明△CDG≌BEM，推出DG=ME，推出CD+DG=DM+ME=DE，易知四边形BEDF是矩形，可得BF=DE=CD+DG；

解答 解：（1）如图，∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠E=∠ACB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠BCE}\\{∠ADC=∠E}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE．

（2）结论：CD+DG=BF．理由如下：
∵AG平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAG=22.5°，
∴∠ACD=∠AMC=67.5°，∠DCG=∠MBE=22.5°，
∴AC=AM，
∵AD⊥CM，
∴CD=DM，
∴∠DCG=∠MBE，
∵△ACD≌△CBE，
∴CD=BE，∵∠CDG=∠E=90°，
∴△CDG≌BEM，
∴DG=ME，
∴CD+DG=DM+ME=DE，
易知四边形BEDF是矩形，
∴BF=DE=CD+DG．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．