Question

8．如图，直线a、b交于O点，夹角为45°，A、B分别为直线a，b上异于O的点，P为同一平面内不在直线a，b上的定点，且P、A、B不共线，求当△PAB的周长为最小值时，∠APB的度数．

Answer 1

分析 如图，分别作P关于OM、ON的对称点，然后连接两个对称点即可得到A、B两点，由此即可得到△PAB的周长取最小值时的情况，并且求出∠APB度数．

解答 解：如图，分别作P关于OM、ON的对称点P₁、P₂，然后连接两个对称点即可得到A、B两点，
∴△PAB即为所求的三角形，
根据对称性知道：
∠APO=∠AP₁O，∠BPO=∠BP₂O，
还根据对称性知道：∠P₁OP₂=2∠MON，OP₁=OP₂，
而∠MON=45°，
∴∠P₁OP₂=90°，
∴∠AP₁O=∠BP₂O=45°，
∴∠APB=2×45°=90°．

点评 此题主要考查了轴对称和最短线路问题；解题的关键是根据两点之间线段最短得到AP+BP+AB时最小值，利用等腰三角形和轴对称的知识即可求解．