Question

6．如图，在等腰三角形DEF中，DE=FE=1，∠DEF=135°．
（1）求∠EFD的正切值（结果用根号表示）；
（2）应用：通过折叠矩形纸片ABCD，在BC边上确定两点G、H，使得△AGH∽△DEF，还原矩形纸片后，用虚线标注折痕，并说明你的折法和理由．

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的性质进而利用锐角三角函数关系得出∠EFD的正切值；
（2）利用等腰三角形DEF的特殊性，得出与其形状相同的三角形即可．

解答 解：（1）延长FE，过点D作DR⊥FE的延长线于点R，
∵等腰三角形DEF中，DE=FE=1，∠DEF=135°，
∴∠DER=45°，
∴DR=ER=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tan∠DFE=$\frac{DR}{RF}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}+1}$=$\sqrt{2}$-1；

（2）如图所示：以AB为直角边折叠等腰直角三角形，再折叠∠DAG的平分线，即可得出H，G的位置；
∵AB=BG，∠B=90°，
∴∠BAG=∠AGB=45°，
∴∠AGH=135°，
∵∠DAH=∠GAH=22.5°，
∴∠AHG=22.5°，
∴GH=AG，
∴$\frac{DE}{AG}$=$\frac{EF}{GH}$，
又∵∠DEF=∠AGH，
∴△AGH∽△DEF．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系，得出△AGH各内角度数是解题关键．