题目内容
15．
如图，直线AB与x轴、y轴分别交于B、A两点，线段OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-14x+48=0的两个根（OA＜OB）请解答下列问题：
（1）求线段AB的长；
（2）点C是直线AB上一点，且3S△OBC=2S△OAC，求直线OC的函数解析式；
（3）在（2）条件下，点C是线段AB上的点，在直线AB上是否存在点P，使以点O、C、P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）首先解方程求得OA和OB的长，然后利用勾股定理求得AB的长即可；
（2）根据点A和点B的坐标得出直线AB的解析式，再设出点C的坐标，根据面积等式解答即可；
（3）根据直角三角形得出点P的坐标即可．
解答 （1）解：方程x2-14x+48=0变形为：
（x-6）（x-8）=0，
解得：x1=6，x2=8，
∵OA＜OB，
∴OA=6，OB=8，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}=10$，
（2）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
把B（-8，0），A（0，6）代入解析式中，得：$\left\{\begin{array}{l}{-8k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{3}{4}$，b=6，
所以直线的解析式是y=$\frac{3}{4}$x+6；
所以点C的坐标为（x，$\frac{3}{4}x+6$），
因为3S△OBC=2S△OAC，
所以可得S△OAC=6（±x）×$\frac{1}{2}$=±3x
S△OBC=8（$\frac{3}{4}x+6$）•$\frac{1}{2}$=±（3x+24）
当S△OBC=2S△OAC时，x=$\frac{24}{5}$或x=-24
∴LOC：y1=-$\frac{1}{2}$x，
可得解析式为：y2=$\frac{1}{2}$x；
（3）当点C的坐标为（-24，-12）时，使点O、C、P为顶点的三角形是直角三角形，
则可得点P的坐标为（$\frac{24}{5}，\frac{48}{5}$）；
当点C的坐标为（$\frac{24}{5}，\frac{48}{5}$）时，使点O、C、P为顶点的三角形是直角三角形，
则可得点P的坐标为（$-\frac{72}{15}，\frac{32}{5}$）．
综上所述，点P的坐标为（$\frac{24}{5}，\frac{48}{5}$）（$-\frac{72}{15}，\frac{32}{5}$）．
点评 本题考查了一次函数的综合知识，题目中进行了点的坐标和三角形的面积的转化，这是解决本题的关键，难度中等偏上．
全能测控一本好卷系列答案| A． | a＞5或a＜-2 | B． | -2≤a≤5 | C． | -2＜a＜5 | D． | a≥5或a≤-2 |
如图，在等腰三角形DEF中，DE=FE=1，∠DEF=135°．
如图，在△ABC中，高AD交边BC于点D，AD=12cm，BD=16cm，CD=8cm．动点P从点D出发，沿折线D-A-B向终点B运动，点P在AD上的速度4cm/s，在AB上的速度5cm/s．同时点Q从点B出发，以6cm/s的速度，沿BC向终点C运动，当点Q停止运动时，点P也随之停止．设点P的运动时间为t（s）．
如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．点O在BC上，且CO=1，点M是AC上一动点，连接OM，将线段OM绕点O逆时针旋转90°，得到线段OD，要使点D恰好落在AB上，CM的长度为5．
如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则EF的最小值是$\frac{24}{5}$．
如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于E，AC平分∠DAE．