题目内容
1．在直角坐标系中，点O为坐标原点，把抛物线y=-x2先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到的新抛物线顶点为P，新抛物线与x轴交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），交于y轴负半轴交于C点．（1）若n=2，△ABC的面积为2$\sqrt{2}$，求m的值．
（2）若点B的横坐标为m+1，点P关于x轴的对称点Q在直线BC上，直线BC的上方的新抛物线上是否存在点M，使△MBC与△PBC的面积相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
分析 （1）根据平移规律可以求得平移后抛物线的解析式，利用根与系数的关系易得AB的长度，和AB边上的高，所以根据三角形的面积公式可以得到关于m的方程，通过解方程来求m的值；
（2）根据平行线的性质得到点M是直线PM与抛物线的交点，且BC∥PM，所以根据直线与抛物线的交点的求法进行解答即可．
解答 
解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
抛物线y=-x2的顶点坐标是（0，0），平移后抛物线的顶点坐标是（m，n）．则平移后抛物线的解析式为：
y=-（x-m）2+n．
∵当n=2时，该抛物线的解析式为：y=-（x-m）2+2=-x2+2mx-m2+2．
∴x1+x2=2m，x1•x2=m2+2，OC=m2-2．
∴AB=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\sqrt{4{m}^{2}-4（{m}^{2}-2）}$=2$\sqrt{2}$．
∵△ABC的面积为2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×（m2-2）=2$\sqrt{2}$，故m=2（舍去负值）．
（2）把点B的坐标为（m+1，0），代入y=-（x-m）2+n．可得n=1．
∵△MBC与△PBC的面积相等，点M在直线BC的上方的新抛物线上，
∴BC∥PM，
由（1）可得P（m，n），则Q（m，-n）．
即：P（m，1），则Q（m，-1）．
设直线BQ为y=kx+b（k≠0），则
$\left\{\begin{array}{l}{0=k（m+1）+b}\\{-1=mk+b}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-（m+1）}\end{array}\right.$，
故直线BQ的解析式为：y=x-1（m+1）．
∴设直线MP的解析式为：y=x+t．
把P（m，1）代入，得
1=m+t，
解得 t=m-1，
故直线MP的解析式为：y=x+m-1．
依题意得 $\left\{\begin{array}{l}{y=x+m-1}\\{y=-{x}^{2}+2mx-{m}^{2}+2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2m-1+\sqrt{13-8m}}{2}}\\{y=\frac{4m-3+\sqrt{13-8m}}{2}}\end{array}\right.$，即M（$\frac{2m-1+\sqrt{13-8m}}{2}$，$\frac{4m-3+\sqrt{13-8m}}{2}$）．
点评 本题考查了二次函数图象的几何变换．要求学生会利用方程求抛物线与坐标轴的交点坐标、求抛物线与直线的交点坐标．
| 序号 | 1 | 2 | 3 | … |
| 图形 |  |  |  | … |
| ●的个数 | 8 | 16 | 24 | … |
| ☆的个数 | 1 | 4 | 9 | … |
（2）试求第6个图形中“●”的个数和“☆”的个数？
（3）试求第n个图形中“●”的个数和“☆”的个数？
如图，在三角形ABC中，∠C=90度，AD是角平分线，CD=1.5，BD=2.5，求AC的长．
如图，在等腰三角形DEF中，DE=FE=1，∠DEF=135°．
如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．点O在BC上，且CO=1，点M是AC上一动点，连接OM，将线段OM绕点O逆时针旋转90°，得到线段OD，要使点D恰好落在AB上，CM的长度为5．