Question

15．如图，已知AB是⊙O的直径，过O点作OP⊥AB，交弦AC于点D，交⊙O于点E，且使∠PCA=∠ABC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠P=60°，PC=2，求PE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，求得∠BCO+∠ACO=90°，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BCO，等量代换得到∠BCO=∠ACP，求得∠OCP=90°，于是得到结论；
（2）解直角三角形即可得到结论．

解答 解：（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCO+∠ACO=90°，
∵OC=OB，
∴∠B=∠BCO，
∵∠PCA=∠ABC，
∴∠BCO=∠ACP，
∴∠ACP+∠OCA=90°，
∴∠OCP=90°，
∴PC是⊙O的切线；
（2）∵∠P=60°，PC=2，∠PCO=90°，
∴OC=2$\sqrt{3}$，OP=2PC=4，
∴PE=OP-OE=OP-OC=4-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．