Question

18．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x、y轴交于点B、A，与反比例函数的$y=\frac{k}{x}$图象分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，$tan∠ABO=\frac{1}{2}$，OB=4，OE=2．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）连结OC、OD，求△COD的面积；
（3）当反比例函数的函数值大于一次函数的函数值时，写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件求出C点坐标，用待定系数法求出反比例的函数解析式；
（2）根据已知条件求出A、B点坐标，用待定系数法求出直线的解析式，联立一次函数的解析式和反比例函数的解析式可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解；
（3）根据函数的图象和交点坐标即可求得．

解答 解：（1）∵OB=4，OE=2，
∴BE=2+4=6．
∵CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$．
∴CE=3．
∴点C的坐标为（-2，3）．
将点C的坐标代入，得3=$\frac{k}{-2}$，
∴k=-6．
∴该反比例函数的解析式为y=-$\frac{6}{x}$．
（2）在RT△AOB中，tan∠ABO=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{1}{2}$．
∴OA=2，
∴A（0，2），
∵OB=4，
∴B（4，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
故直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2．
联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{6}{x}}\\{y=-\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴C（-2，3），D（6，-1），
∴S_△COD=S_△BOC+S_△BOD=$\frac{1}{2}$×4×2+$\frac{1}{2}$×4×1=8；
（3）由图象得，一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围：-2＜x＜0或x＞6．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．