如图.在平面直角坐标系xOy中.抛物线y=ax2-4ax-5a与x轴交于A.B两点.经过点A的直线l:y=kx+b与y轴负半轴交于点C.与抛物线的另一个交点为D.且CD=6AC．(1)求出点B的坐标.并求直线l的函数表达式(其中k.b用含a的式子表示),(2)设P是抛物线的对称轴上的一点.点Q在抛物线上.以点A.D.P.Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能.求出点P的坐标,若不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-4ax-5a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=6AC．
（1）求出点B的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

分析（1）根据抛物线y=ax²-4ax-5a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），可以求得点A和点B的坐标，由经过点A的直线l：y=kx+b，可以得到k与b的关系，然后根据CD=6AC，可以求得k与a的关系，从而可以表示出直线l的函数表达式；
（2）根据题意可以知道点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，然后分两种情况进行解答，先画出相应的图形，然后根据题意求出相应的点P的坐标，从而可以解答本题．

解答解：（1）∵抛物线y=ax²-4ax-5a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），
∴0=ax²-4ax-5a=a（x-5）（x+1），得x₁=-1，x₂=5，
∴点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（5，0），
∵经过点A的直线l：y=kx+b，
∴k×（-1）+b=0，得k=b，
∴y=kx+k，
又∵CD=6AC，点A的坐标是（-1，0），
∴点D的横坐标为6，
∴6k+k=a×6²-4a×6-5a，
解得，k=a，
∴直线l的函数表达式是y=ax+a，
即点B的坐标是（5，0），直线l的函数表达式是y=ax+a；
（2）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形．
当AD为矩形的一边时，如下图1所示：

∵$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}-4ax-5a}\\{y=ax+a}\end{array}\right.$
解得，x₁=-1，x₂=6
∴点D的坐标为（6，7a），
∵抛物线y=ax²-4ax-5a的对称轴为直线x=$-\frac{-4a}{2a}=2$，P是抛物线的对称轴上的一点，
∴设点P的坐标为（2，m），
∵点A的坐标为（-1，0），点Q在抛物线上，
∴点Q的坐标为（-5，40a），
∴m=7a+40a=47a，
∴点P的坐标为（2，47a），
∵AD⊥AQ，
∴AD²+AQ²=QD²，
即[6-（-1）]²+（7a）²+[（-1）-（-5）]²+（40a）²=[6-（-5）]²+（7a-40a）²，
解得，$a=±\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∵a＜0，
∴a=$-\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴点P的坐标为（2，$-\frac{47\sqrt{10}}{10}$）；
当AD为矩形的对角线时，如下图2所示，

∵$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}-4ax-5a}\\{y=ax+a}\end{array}\right.$
解得x₁=-1，x₂=6
∴点D的坐标为（6，7a），
∵抛物线y=ax²-4ax-5a的对称轴为直线x=$-\frac{-4a}{2a}=2$，P是抛物线的对称轴上的一点，
∴设点P的坐标为（2，m），
∵点A的坐标为（-1，0），点Q在抛物线上，
∴点Q的坐标为（3，-8a），
∴m=7a-（-8a）=15a，
∴点P的坐标为（2，15a），
∵AQ⊥AP，
∴AQ²+AP²=QP²，
即[3-（-1）]²+[（-8a）-0]²+[2-（-1）]²+（15a-0）²=（3-2）²+[（-8a）-15a]²，
解得a=$±\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∵a＜0，
∴a=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴点P的坐标为（2，$-\frac{3\sqrt{10}}{2}$）．
由上可得，点P的坐标为（2，$-\frac{47\sqrt{10}}{10}$）或（2，$-\frac{3\sqrt{10}}{2}$）．