Question

13．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E从B点出发顺时针运动到D点时，点F经过的路径长为$\frac{\sqrt{3}}{3}$π．

Answer 1

分析 连接AC，AG，由OG垂直于AB，利用垂径定理得到O为AB的中点，由G的坐标确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AG与OG的长，利用勾股定理求出AO的长，进而确定出AB的长，由CG+GO求出OC的长，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半径，如图中红线所示，当E位于点B时，CO⊥AE，此时F与O重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长$\widehat{AO}$，在直角三角形ACO中，利用锐角三角函数定义求出∠ACO的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出$\widehat{AO}$的长．

解答 解：连接AC，AG，
∵GO⊥AB，
∴O为AB的中点，即AO=BO=$\frac{1}{2}$AB，
∵G（0，1），即OG=1，
∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AO=$\sqrt{A{G}^{2}-O{G}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AB=2AO=2$\sqrt{3}$，
又CO=CG+GO=2+1=3，
∴在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC=$\sqrt{A{O}^{2}+C{O}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵CF⊥AE，
∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，
当E位于点B时，CO⊥AE，此时F与O重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，
∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长$\widehat{AO}$，
在Rt△ACO中，tan∠ACO=$\frac{AO}{CO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ACO=30°，
∴$\widehat{AO}$度数为60°，
∵直径AC=2$\sqrt{3}$，
∴$\widehat{AO}$的长为$\frac{60π×\sqrt{3}}{180}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$π，
则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长$\frac{\sqrt{3}}{3}$π．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$π．

点评 此题属于圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长$\widehat{AO}$是解本题的关键．