Question

2．如图，点O为正方形ABCD的对角线交点，将线段OE绕点O逆时针方向旋转90°，点E的对应点为点F，连接EF，AE，BF．
（1）请依题意补全图形；
（2）根据补全的图形，猜想并证明直线AE与BF的位置关系．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质画出OF，按照题意连接各线段即可得出图形；
（2）猜想：AE⊥BF．延长EA交OF于点H，交BF于点G，根据正方形的性质以及角的计算即可得出OA=OB，∠EOA=∠FOB，由此即可证出△EOA≌△FOB（SAS），进而得出∠OEA=∠OFB，再结合∠EOF=90°以及对顶角相等，即可得出∠OFB+∠FHG=90°，故AE⊥BF．

解答 解：（1）依照题意画出图形，如图1所示．

（2）猜想：AE⊥BF．
证明：延长EA交OF于点H，交BF于点G，如图2所示．
∵O为正方形ABCD对角线的交点，
∴OA=OB，∠AOB=90°．
∵OE绕点O逆时针旋转90°得到OF，
∴OE=OF，∠AOB=∠EOF=90°，
∴∠EOA=∠FOB．
在△EOA和△FOB中，$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{∠EOA=∠FOB}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△EOA≌△FOB（SAS），
∴∠OEA=∠OFB．
∵∠OEA+∠OHA=90°，∠FHG=∠OHA，
∴∠OFB+∠FHG=90°，∠FGH=90°，
∴AE⊥BF．

点评 本题考查了作图中的旋转变换、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）画出图形；（2）找出∠OFB+∠FHG=90°．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的角，再通过角的计算找出直角是关键．