Question

13．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB=2，则PB+PE的最小值是（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 找出B点关于AC的对称点D，连接DE交AC于P，则DE就是PB+PE的最小值，求出即可．

解答 解：连接DE交AC于P，连接DE，DB，

由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，
∴PE+PB=PE+PD=DE，
即DE就是PE+PB的最小值，
∵∠ABC=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∵AE=BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）．
在Rt△ADE中，DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
即PB+PE的最小值为$\sqrt{3}$，
故选B．

点评 本题主要考查轴对称-最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键．