Question

2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC、∠BCD的平分线交AD于点E．求证：AB+CD=BC．

Answer 1

分析 先利用角平分线的特点构造出△ABE≌△FBE，得出∠BAE=∠BFE，借助平行线的性质判断出∠CFE=∠CDE，得出△FCE≌△DCE即可．

解答 证明：在BC上截取BF=AB，
∵∠ABC、∠BCD的平分线交AD于点E，
∴∠ABE=∠FBE，∠BCE=∠DCE，
在△ABE和△FBE中$\left\{\begin{array}{l}{AB=BF}\\{∠ABE=∠FBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FBE，
∴∠BAE=∠BFE，
∵AB∥CD，
∴∠BAE+∠CDE=180°，
∴∠BFE+∠CDE=180°，
∵∠BFE+∠CFE=180°，
∴∠CFE=∠CDE，
在△FCE和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CFE=∠CDE}\\{∠FCE=∠DCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△FCE≌△DCE，
∴CF=CD，
∴BC=BF+CF=AB+CD．

点评 此题是全等三角形的性质和判定，主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，同角或等角的补角相等，邻补角的定义，解本题的关键是判断出∠CFE=∠CDE．