Question

5．已知，抛物线y=ax²（a≠0）经过点A（4，4），
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线上存在点B，使得△AOB是以AO为直角边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点B的坐标：B（-4，4）或（-8，16）．
（3）如图2，直线l经过点C（0，-1），且平行与x轴，若点D为抛物线上任意一点（原点O除外），直线DO交l于点E，过点E作EF⊥l，交抛物线于点F，求证：直线DF一定经过点G（0，1）．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出抛物线解析式，
（2）分两种情况，先确定出直线OB或AB，和抛物线解析式联立确定出点B的解析式；
（3）先设出点D坐标，确定出点F坐标，进而得出直线DF解析式，将点G坐标代入直线DF看是否满足解析式．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²（a≠0）经过点A（4，4），
∴16a=4，
∴a=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²，
（2）存在点B，使得△AOB是以AO为直角边的直角三角形，
理由：如图1，

∵使得△AOB是以AO为直角边的直角三角形
∴直角顶点是点O，或点A，
①当直角顶点是点O时，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，
∵点A（4，4），
∴直线OA解析式为y=x，
∴直线OB解析式为y=-x，
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\\{y=-x}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴B（-4，4），
②当直角顶点为点A，过点A作AB⊥OA，
由①有，直线OA的解析式为y=x，
∵A（4，4），
∴直线AB解析式为y=-x+8，
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\\{y=-x+8}\end{array}\right.$，
$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=-8}\\{y=16}\end{array}\right.$，
∴B（-8，16），
∴满足条件的点B（-4，4）或（-8，16）；
故答案为B（-4，4）或（-8，16）；
（3）证明：设点D（m，$\frac{1}{4}$m²），
∴直线DO解析式为y=$\frac{m}{4}$x，
∵l∥x轴，C（0，-1），
令y=-1，则x=-$\frac{4}{m}$，
∴直线DO与l交于E（-$\frac{4}{m}$，-1），
∵EF⊥l，l∥x轴，
∴F横坐标为-$\frac{4}{m}$，
∵点F在抛物线上，
∴F（-$\frac{4}{m}$，$\frac{4}{{m}^{2}}$）
设直线DF解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4}{m}k+b=\frac{4}{{m}^{2}}}\\{mk+b=\frac{{m}^{2}}{4}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{{m}^{2}-4}{4m}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线DF解析式为y=$\frac{{m}^{2}-4}{4m}$x+1，
∴点G（0，1）满足直线DF解析式，
∴直线DF一定经过点G．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，函数图象的交点坐标，直角三角形的性质，判断点是否在直线上，解本题的关键是确定出点B的坐标，确定出直线DF的解析式是解本题的难点．