Question

11．已知∠MAN．
（1）用尺规完成下列作图：（保留作图痕迹，不写作法）
①作∠MAN的平分线AE；
②在AE上任取一点F，作AF的垂直平分线分别与AM、AN交于P、Q；
（2）在（1）的条件下，线段AP与AQ有什么数量关系，请直接写出结论．

Answer 1

分析 （1）①利用角平分线的作法得出即可；
②利用垂直平分线的作法得出即可；
（2）利用垂直平分线的性质得出∠PGA=∠QGA，进而得出△PAG≌△QAG（ASA），则AP=AQ，即可得出答案．

解答 解：（1）如图所示：

①AE为所求作的角平分线；      
②PQ为所求作的垂直平分线；   
（2）AP=AQ．
证明：∵PQ是AF的垂直平分线，
∴∠PGA=∠QGA=90°，
∵AE是∠MAN的平分线，
∴∠PAG=∠QAG，
在△PAG和△QAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PGA=∠QGA}\\{AG=AG}\\{∠PAG=∠QAG}\end{array}\right.$，
∴△PAG≌△QAG（ASA），
∴AP=AQ．

点评 此题主要考查了角平分线、线段垂直平分线的作法以及其性质和全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出∠BDC=∠BDE是解题关键．