Question

10．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，a）（A在第一象限）、点B（5，0）．连OA，OB，△ABO的面积是7.5．

（1）求点A的坐标；
（2）动点P从O点出发，沿射线OA以每秒2个单位长度的速度匀速运动，运动时间t（t＞0）秒，连接PB，用含t的式子表示△PAB的面积S，并写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，点Q在线段AB上，且QB=2AQ，连接PQ，当△APQ的面积为1，求t值并直接写出Q点坐标．

Answer 1

分析 （1）先确定出OB，再利用△AOB的面积求出a即可得出点A坐标；
（2）先确定出AD=3，OD=4，再构造出△ODA∽△OEP得出比例式即可表示出PE，用三角形面积的差即可得出结论；
（3）先求出△PBQ的面积，即可得出△PAB的面积，借助（2）结论即可求出时间t．

解答 解：（1）如图1，过点A作AD⊥OB于D，
∵B（5，0），
∴OB=5，
∵△ABO的面积是7.5．
∴$\frac{1}{2}$OB•AD=7.5，
∴5AD=15，
∴AD=3，
∴a=3，
∴A（4，3）；

（2）如图2，
∵动点P从O点出发，沿射线OA以每秒2个单位长度的速度匀速运动，
∴OP=2t，
由（1）知，AD=3，A（4，3），
∴OA=5，OD=4，
过点A作AD⊥OB于D，过点P作PE⊥OB，
∴AD∥PE，
∴△ODA∽△OEP，
∴$\frac{PE}{AD}=\frac{OP}{OA}$，
∴$\frac{PE}{3}=\frac{2t}{5}$，
∴PE=$\frac{6}{5}$t，
∴S_△PAB=S_△OAB-S_△POB=7.5-$\frac{1}{2}$OB•PE=7.5-$\frac{1}{2}$×5×$\frac{6}{5}$t=7.5-3t（0＜t≤2.5）；
（3）如图3，∵QB=2AQ，
∴S_△PBQ=2S_△PAQ=2，
∴S_△PAB=3，
由（2）知，S_△PAB=7.5-3t=3，
∴t=1.5．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了三角形的面积公式，相似三角形的性质和判定，同高的两三角形的面积比是底的比；解（1）的关键是用三角形OAB的面积建立方程求解，解（2）的关键是用相似三角形得出的比例式建立方程表示出PE，解（3）的关键是求出三角形PAB的面积．