Question

19．方程x²+ax+b=0的两根为x₁，x₂，若存在实数a，b使得x₁³+x₂³=x₁²+x₂²=x₁+x₂则我们就称这样的两个根（x₁，x₂）为组“黄金根”，则这样的“黄金根”共有（0，1）、（1，1）或（0，0）．2（参考公式：a³+b³=（a+b）[（a+b）²-3ab]）

Answer 1

分析 根据根与系数的关系即可得出x₁+x₂=-a、x₁•x₂=b，将x₁³+x₂³=x₁²+x₂²=x₁+x₂变形为（x₁+x₂）[（x₁+x₂）²-3x₁•x₂]=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=x₁+x₂，代入x₁+x₂=-a、x₁•x₂=b即可得出关于a、b的方程，解之即可得出a、b的值，将其代入原方程解之即可得出x₁、x₂的值，此题得解．

解答 解：∵方程x²+ax+b=0的两根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-a，x₁•x₂=b．
∵x₁³+x₂³=（x₁+x₂）[（x₁+x₂）²-3x₁•x₂]=x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=x₁+x₂，
∴-a[（-a）²-3b]=（-a）²-2b=-a，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=0}\end{array}\right.$．
当a=-1、b=0时，原方程为x²-x=0，
解得：x₁=0，x₂=1；
当a=-2、b=1时，原方程为x²-2x+1=0，
解得：x₁=x₂=1；
当a=0、b=0时，原方程为x²=0，
解得：x₁=x₂=0．
故答案为：（0，1）、（1，1）或（0，0）．

点评 本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系结合x₁³+x₂³=x₁²+x₂²=x₁+x₂得出-a[（-a）²-3b]=（-a）²-2b=-a是解题的关键．