Question

4．小万利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为15元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如表所示．

销售量p（件）	P=50-x
销售单价q（元/件）	当1≤x≤20时，q=30+$\frac{1}{2}$x； 当21≤x≤40时，q=20+$\frac{525}{x}$

（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？
（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；
（3）这40天中该网店第几天能够获利870元？

Answer 1

分析 （1）在每个x的取值范围内，令q=35，分别解出x的值即可；
（2）利用总利润=（售价-成本）×销量，分别求出在1≤x≤20和21≤x≤40时，y与x的函数关系式；
（3）当1≤x≤20时，y=-$\frac{1}{2}$x²+10x+750=-$\frac{1}{2}$（x-10）²+800，求出一个最大值y₁，当21≤x≤40时，利润为870元时求出即可．

解答 解：（1）当1≤x≤20时，令30+$\frac{1}{2}$x=35，得x=10，
当21≤x≤40时，令20+$\frac{525}{x}$=35，
解得：x=35，
经检验得x=35是原方程的解且符合题意，
即第10天或者第35天该商品的销售单价为35元/件．

（2）当1≤x≤20时，y=（30+$\frac{1}{2}$x-15）（50-x）=-$\frac{1}{2}$x²+10x+750，
当21≤x≤40时，y=（20+$\frac{525}{x}$-15）（50-x）=$\frac{26250}{x}$-5x-275，
即y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{x}^{2}+10x+750（1≤x≤20）}\\{\frac{26250}{x}-5x-275（21≤x≤40）}\end{array}\right.$．

（3）当1≤x≤20时，y=-$\frac{1}{2}$x²+10x+750=-$\frac{1}{2}$（x-10）²+800，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴当x=10时，y有最大值y₁，且y₁=800，
当21≤x≤40时，∵26250＞0，
∴$\frac{26250}{x}$-5x-275随x的增大而减小，
$\frac{26250}{x}$-5x-275=870，
解得：x₁=21，x₂=-250（不合题意舍去），
经检验得：x=21是原方程的根，
∴这40天中第21天时该网店获得利润870元．

点评 本题主要考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质和反比例函数的性质以及最值得求法，此题难度不大．