Question

12．如图，在正方形ABCD中，点E，点F分别在边BC，DC上，BE=DF，∠EAF=60°，点G在DC上，且∠AGC=120°，EG平分∠AGC，连接AG．
（1）若AE=2，求EC的长．
（2）求证：AG=EG+FG．

Answer 1

分析 （1）首先证明△AEF是等边三角形，再证明△EFC是等腰直角三角形即可解决问题．
（2）在AG上取点M，使GM=GE，连接EM．先证明△MEG是等边三角形，再证明△AEM≌△FEG即可解决问题．

解答 （1）解：连接EF，
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD=DC=BC，
∠B=∠D=∠C=90°
且BE=DF
∴△ABE≌△ADF．
∴AE=AF．
且∠EAF=60°
∴△AEF是等边三角形．
∴AE=EF=2
又∵CE=BC-BE，CF=DC-DF
∴CE=CF．
∴△ECF是等腰直角三角形．
∴EC=$\frac{2}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$；

（2）证明：在AG上取点M，使GM=GE，连接EM．
∵EG平分∠AGC，且∠AGC=120°．
∴∠AGE=60°．
∴△EGM是等边三角形．
∴EM=EG=GM，∠MEG=∠EMG=∠MGE=60°．
又∵∠AEM+∠MEF=60°，∠GEF+∠MEF=60°
∴∠AEM=∠GEF，∠AME=∠EGF=120°，
在△AEM和△FEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠EGF}\\{EM=EG}\\{∠AEM=∠FEG}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△FEG．
∴AM=GF
∵AG=AM+GM．
∴AG=FG+EG．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．