Question

3．如图，△ABD≌△CDB，且∠ADB=∠ABD，△ABD的面积是2$\sqrt{3}$，AB=2，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 4
• C． 2
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由△ABD≌△CDB可知AB=CD、AD=BC，从而可证明四边形ABCD是平行四边形，由∠ADB=∠ABD可知AB=AD，从而可知四边形ABCD是菱形，然后根据菱形的面积公式可求得菱形的高，根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PK+QK的最小值，然后求解即可．

解答 解：如图所示：作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K．

∵△ABD≌△CDB，
∴AB=CD、AD=BC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD．
∴四边形ABCD是菱形．
由菱形的面积公式可知：菱形的高=4$\sqrt{3}÷2$=2$\sqrt{3}$．
∴点P′到CD的距离为2$\sqrt{3}$．
∴PK+QK的最小值为2$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．