如图.在平面直角坐标系中.以OC为直径的圆交y轴于点D.∠DOC=30°.OC=2．延长DC至点B.使得CB=4DC.过B点作BA∥OC交x轴于A点．(1)请求出BC的长度,(2)若P点与B点是关于直线AC的对称点.试求出点P的坐标,(3)若点M.N分别为CB.AB上的动点.P点与B点是关于直线MN的对称点.过点P作x轴的平行线.与AC.OC分别交于点E.F．若PE﹕PF=1:3.点P的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．

如图，在平面直角坐标系中，以OC为直径的圆交y轴于点D，∠DOC=30°，OC=2．延长DC至点B，使得CB=4DC，过B点作BA∥OC交x轴于A点．
（1）请求出BC的长度；
（2）若P点与B点是关于直线AC的对称点，试求出点P的坐标；
（3）若点M、N分别为CB、AB上的动点，P点与B点是关于直线MN的对称点，过点P作x轴的平行线，与AC、OC分别交于点E、F．若PE﹕PF=1：3，点P的横坐标为m．请求出点P的纵坐标，并直接写出m的取值范围．

分析（1）根据圆周角定理可知∠ODC是直角，所以可求得CD的长为1，利用CB=4DC可知，CB的长度为4；
（2）根据（1）可知OA=4，OC，∠COA=60°，所以易证△OCA∽△CDO，可知∠OCA=90°，又易知四边形AOCB是平行四边形，所以∠CAB=90°，所以点P一定在BA的延长线上；
（3）由题意知：P与B关于MN，所以m的范围是2＜m＜5，求出直线AC和OC的解析式后，设P的纵坐标为a，然后将y=a分别代入直线AC和OC解析式中，求出E、F的横坐标，然后利用PF=3PE，列出关于a的方程，然后解出a即可得出M的纵坐标．

解答（1）由题意知：OC是直径，
∴∠ODC=90°，
∵∠DOC=30°，
∴DC=$\frac{1}{2}$OC=1，
∴BC=4DC=4；

（2）连接AC，
由（1）可知：∠ODC=90°
∴CD∥OA，
∵BA∥OC，
∴四边形AOCB是平行四边形，
∴OA=BC=4，
∵∠COD=30°，
∴∠COA=∠OCD=60°，
∵$\frac{OA}{OC}=\frac{OC}{CD}=2$，
∴△OCA∽△CDO，
∴∠OCA=90°，
在BA的延长线上截取AP=AB，
过点P作PG⊥x轴于点G，
∴AP=2，∠OAP=60°，
∴AG=1，PG=$\sqrt{3}$，
∴OG=OA-AG=3，
∴P（3，-$\sqrt{3}$）；

（3）由题意知：当M与C重合，N在AB上移动时，m的范围是3＜m＜5，
当N与A重合，M在CB上移动时，m的范围是2＜m＜5，
∴点P与B关于MN对称时，2＜m＜5，
由（1）可知，点C的坐标为（1，$\sqrt{3}$），
点A的坐标为（4，0），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把A（4，0）和C（1，$\sqrt{3}$）代入y=kx+b，
得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}=k+b}\\{0=4k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
设直线OC的解析式为：y=mx，
把C（1，$\sqrt{3}$）代入y=mx，
∴m=$\sqrt{3}$，
∴直线OC的解析式为：y=$\sqrt{3}$x，
设P的纵坐标为a，
∴P的坐标为（m，a）
∵PF∥x轴，
∴E、F的纵坐标为a，
令y=a代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴x=4-$\sqrt{3}$a，
∴E（4-$\sqrt{3}$a，a），
令y=a代入y=$\sqrt{3}$x，
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴F（$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，a），
如图1，当点P在AC的右侧时，
∴PE=m-（4-$\sqrt{3}$a）=m-4+$\sqrt{3}$a，
PF=m-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∵PF=3PE，
∴m-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=3（m-4+$\sqrt{3}$a），
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{5}（6-m）$，

如图2，当点P在EF之间时，
此时，PE=4-$\sqrt{3}$a-m，
PF=m-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∵PF=3PE，
∴m-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=3（4-$\sqrt{3}$a-m），
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-m），
综上所述，P的纵坐标为$\frac{\sqrt{3}}{5}（6-m）$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-m），m的范围是：2＜m＜5．