Question

1．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O上的点，∠DCB=30°，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于E，若AB=4，则DE的长为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． $\sqrt{3}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 连接OD．由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可求得∠BOD=60°，然后由切线的性质可证明∠ODE=90°，根据三角形的内角和是180°可求得∠E=30°，依据含30°直角三角形的性质可知OE=2OD=4，再利用勾股定理，即可解答．

解答 解：如图，连接OD．

∵∠DCB=30°，
∴∠BOD=60°．
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=90°．
∴∠DEO=30°．
∴OE=2OD=AB=4，
在Rt△ODE中，DE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{D}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}=2\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、含30°直角三角形的性质，证得△ODE为含30°的直角三角形是解题的关键．