Question

7．如图，小明从P点出发，沿北偏东60°方向行驶到达A处，接着向正南方向行驶100（$\sqrt{3}$+1）米到达B处．在B处观测到出发时所在的P处在北偏西45°方向上，P，A两处相距多少米？

Answer 1

分析 作辅助线PC⊥AB交AB于点C，设BC长度为x，则AC=AB-BC=100（$\sqrt{3}$+1）-x，在△PBC根据∠B=45°，可得BC=PC=x，然后在△PAC中根据三角函数求出PA的长度．

解答 解：作辅助线PC⊥AB交AB于点C，
设BC长度为x，则AC=AB-BC=100（$\sqrt{3}$+1）-x，
在△PBC中，
∵∠B=45°，
∴BC=PC=x，
在△PAC中，
∵∠APC=90°-60°=30°，
∴tan30°=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{100（\sqrt{3}+1）-x}{x}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
化简得：300（$\sqrt{3}$+1）-3x=$\sqrt{3}$x，
解得：x=$\frac{200\sqrt{3}}{3}$，
∵cos30°=$\frac{PC}{PA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴PA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$PC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{200\sqrt{3}}{3}$=$\frac{400}{3}$．
答：P，A两处相距$\frac{400}{3}$米．

点评 本题主要考查了方向角的含义和解直角三角形的应用，解答本题的关键在于读懂题意，根据所给方向角做出合适的辅助线，构造直角三角形，利用三角函数的知识来进行求解．