Question

8．直线l经过等边三角形ABC的顶点A，如图1，且l⊥AC，AC=AB=BC=4，点P从点A开始沿射线AM运动，连接PC，将△ACP绕点C按逆时针方向旋转60°得到△BCQ，记点P的对应点为Q，线段PA=m（m≥0），当点Q恰好落在直线l上时，点P停止运动．
（1）在图1中，当∠ACP=20°，求∠BQC的值；
（2）在图2中，已知BD⊥l于点D，QE⊥l于点E，ΩF⊥BD于点F，试问：∠BQF的值是否会随着点P的运动而改变？若不会，求出∠BQF的值；若会，请说明理由．
（3）在图3中，连接PQ，记△PAQ的面积为S，请求出S与m的函数关系式（并直接写出m的取值范围），并求出当m为何值时，S有最大值？最大值为多少？

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形两锐角互余即可解答；
（2）设∠ACP=α，可求出∠ACQ=60°-α，由CA∥EQ，得到∠EQC=120°+α，易证四边形EDFQ是矩形，可知∠EQF=90°，又在Rt△BQC中，∠BQC=90°-α，可知∠BQF=360°-∠EQC-∠EQF-∠BQC=60°，故∠BQF的值不会随点P的运动而改变大小，始终为一定值．
（3）线段PA的长为m，用m表示出EQ，根据S=$\frac{1}{2}$AP•EQ，可得到S与m的函数关系式，然后用二次函数的性质求出最大值．

解答 解：（1）∵AC⊥l，
∴∠CAP=90°，
又∵∠ACP=20°，
∴∠APC=70°，
由旋转的性质可知∠BQC=∠APC，
∴∠BQC=70°；
（2）∠BQF的值不会随着点P的运动而改变；理由如下：
∵△ABC是正三角形，
∴∠ACB=60°，
由旋转的性质可知∠ACP=∠BCQ，
∴∠PCQ=∠ACB=60°，
设∠ACP=α，
∴∠ACQ=60°-α，
∵AC⊥l，EQ⊥l，
∴AC∥EQ，
∴∠CEQ=180°-（60°-α）=120°+α，
又∵BD⊥l，QE⊥l，QF⊥BD，
∴四边形DEQF是矩形，
∴∠EQF=90°，
又∵∠BQC=∠APC=90°-α，
∠BQF=360°-90°-（120°+α）-（90°-α）=60°；  
∴∠BQF的值不会随点P的运动而改变大小，始终为一定值，此定值为60°；
（3）∵AP=4，BD⊥l，∠BAD=90°-60°=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵QB=AP=m，BD⊥QF，∠BQF=60°，
∴BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，又四边形DEQF是矩形，
∴EQ=DF=2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
∴S=$\frac{1}{2}$AP•EQ=$\frac{1}{2}$m（2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m），
即S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+m（0≤m≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
当m=-$\frac{1}{2×（-\frac{\sqrt{3}}{4}）}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，
∵-$\frac{\sqrt{3}}{4}$＜0，0＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴S有最大值，最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题是几何变换综合题目，考查了等边三角形的性质、旋转的性质、直角三角形的性质、矩形的判定与性质、三角形面积的计算、二次函数的最值等知识；本题综合性强，有一定难度．