Question

3．已知抛物线y=a（x+3）（x-1）交x轴于点A，B，顶点E的纵坐标为-4，P是抛物线上的一个动点（不与点A、B重合）．

（1）求a的值；
（2）请在图1中探究：当∠PAB=45°时，求点P的坐标；
（3）如图2，作射线AP，BP，分别交抛物线的对称轴于点D、F．问：当点P运动时，CD+CF是否为定值？若存在，试求出这个定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过解方程a（x+3）（x-1）=0可得到A、B的坐标，从而得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则顶点坐标为（-1，-4），然后把顶点坐标代入解析式可求出a的值；
（2）利用抛物线解析式得到抛物线与y轴的交点坐标为（0，-3），利用∠PAB=45°可判定点P为抛物线与y轴的交点，于是得到点P的坐标为（-3，0）；
（3）作PH⊥x轴于H，如图，设P（t，t²+2t-3），证明△ACD∽△AHP，利用相似比得到CD=-2（t-1）=2-2t，再证明△BHP∽△BCF，利用相似比得到CF=2（t+3）=6+2t，上，CD+CF=8．

解答 解：（1）当y=0时，a（x+3）（x-1）=0，解得x₁=-3，x₂=1，
则A（-3，0），B（1，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
当x=-1时，a•2•（-2）=-4，解得a=1；

（2）抛物线解析式为y=（x+3）（x-1）=x²+2x-3，
当x=0时，y=x²+2x-3=-3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，-3），
∵∠PAB=45°，
∴点P为抛物线与y轴的交点．
∴点P的坐标为（-3，0）；

（3）CD+CF为定值．
作PH⊥x轴于H，如图，
设P（t，t²+2t-3），
∵CD∥PH，
∴△ACD∽△AHP，
∴$\frac{AC}{AH}$=$\frac{CD}{PH}$，即$\frac{2}{t+3}$=$\frac{CD}{-（{t}^{2}+2t-3）}$，
∴CD=-2（t-1）=2-2t，
∵PH∥CF，
∴△BHP∽△BCF，
∴$\frac{PH}{CF}$=$\frac{BH}{BC}$，即$\frac{-（{t}^{2}+2t-3）}{CF}$=$\frac{1-t}{2}$，
∴CF=2（t+3）=6+2t，
∴CD+CF=2-2t+6+2t=8．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式，会求抛物线与坐标轴的交点坐标；会利用相似比表示线段之间的关系．