Question

4．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E在DB的延长线上，连接EC．过点D作DM⊥EC，垂足为M，DM与AC相交于点F，连接EF．求证：
EF∥BC．

Answer 1

分析 证明Rt△OEC≌Rt△ODF，可得OE=OF，∠OEF=45°，则∠OBC=∠OEF，所以EF∥BC．

解答 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC=OD，OB⊥OC，
∴∠OBC=45°，
在△DEM中，∵DM⊥EC，
∴∠DEM+∠EDM=90°，
在△DOF中，∵DO⊥OF，
∴∠DFO+∠EDM=90°，
∴∠DEM=∠DFO，
在Rt△OEC和Rt△ODF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DEM=∠DFO}\\{∠EOC=∠DOF=90°}\\{OD=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△OEC≌Rt△ODF（AAS），
∴OE=OF，
∴∠OEF=45°，
∵∠OBC=45°，
∴∠OBC=∠OEF，
∴EF∥BC．

点评 本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的判定、平行线的判定，熟练掌握正方形的性质和三角形的判定是关键．