Question

13．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点G，交BC的延长线于点F，连接AF、DE，下列结论：①△AEF≌△DEF②CF=AF-CD③DE∥AC④△AEG为等边三角形，其中正确结论有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由垂直平分线的性质可求得AE=DE、AF=DF，则可证得△AEF≌△DEF，可判断①；由①可得AF=DF，则可判断②；由角平分线和①的结论，可证DE∥AC，可判断③；利用题目条件无法判断④正确；可得出答案．

解答 解：
∵EF垂直平分AD，
∴AE=DE，AF=DF，
在△AEF和△DEF中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{AF=DF}\\{EF=EF}\end{array}\right.$
∴△AEF≌△DEF（SSS），故①正确；
∵DF=DC+CF，
∴CF=DF-CD=AF-CD，故②正确；
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，且∠EAD=∠EDA，
∴∠EDA=∠CAD，
∴DE∥AC，故③正确；
当△AEG为等边三角形时，则∠AEG=∠DEG=∠BED=60°，
∠AFE=∠DFE=∠B=30°，则△ABC为直角三角形，而题目条件中没有该条件，
即由题目条件无法得出△AEG为等边三角形，故④不正确；
综上可知正确的结论有3个，
故选C．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，利用线段垂直平分线的性质得到AE=DE、AF=DF是解题的关键．