Question

16．已知：如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点，直线d与直线a、b分别相交于A、B两点，点P在直线AB上运动（不与A、B两点重合）．
（1）如图1，当点P在线段AB上运动时，总有：∠CPD=∠PCA+∠PDB，请说明理由；
（2）如图2，当点P在线段AB的延长线上运动时，∠CPD、∠PCA、∠PDB之间有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上运动时，∠CPD、∠PCA、∠PDB之间又有怎样的数量关系（只需直接给出结论）？

Answer 1

分析 （1）过点P作a的平行线，根据平行线的性质进行求解；
（2）过点P作b的平行线PE，由平行线的性质可得出a∥b∥PE，由此即可得出结论；
（3）设直线AC与DP交于点F，由三角形外角的性质可得出∠1+∠3=∠PFA，再由平行线的性质即可得出结论．

解答 解：（1）证明：如图1，过点P作PE∥a，则∠1=∠CPE．
∵a∥b，PE∥a，
∴PE∥b，
∴∠2=∠DPE，
∴∠3=∠1+∠2，
即∠CPD=∠PCA+∠PDB；

（2）∠CPD=∠PCA-∠PDB．
理由：如图2，过点P作PE∥b，则∠2=∠EPD，
∵直线a∥b，
∴a∥PE，
∴∠1=∠EPC，
∵∠3=∠EPC-∠EPD，
∴∠3=∠1-∠2，
即∠CPD=∠PCA-∠PDB；

（3）∠CPD=∠PDB-∠PCA．
证明：如图3，设直线AC与DP交于点F，
∵∠PFA是△PCF的外角，
∴∠PFA=∠1+∠3，
∵a∥b，
∴∠2=∠PFA，
∴∠2=∠1+∠3，
∴∠3=∠2-∠1，
即∠CPD=∠PDB-∠PCA．

点评 本题考查的是平行线的性质，根据题意作出平行线，利用两直线平行，内错角相等进行推导是解答此题的关键．