题目内容
3．在菱形ABCD中，P为直线DA上的点，Q为直线CD上的点，分别连接PC，PQ，且PC=PQ．（1）若∠B=60°，点P在线段DA上，点Q在线段CD的延长线上，如图①，易证：DQ+PD=AB（不需证明）；
（2）若∠B=60°，点P在线段DA的延长线上，点Q在线段CD上，如图②，若∠B=120°，点P在线段DA上，点Q在线段CD的延长线上，如图③，猜想线段DQ，PD和AB之间有怎样的数量关系？请直接写出对图②，图③的猜想，并对图②给予证明．
分析 （2）①结论：PD-DQ=AB．如图②中，延长CA到M，使得AM=AP，连接PM．只要证明△PAM是等边三角形，△PCM≌△PQD即可解决问题；
②结论：DQ-PD=AB．如图③中，在DQ上截取DM=DP，连接PM．只要证明△PDM是等边三角形，△PCM≌△PQD即可解决问题；
解答 解：（2）①结论：PD-DQ=AB．
理由：如图②中，延长CA到M，使得AM=AP，连接PM．
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴∠CAD=∠PAM=60°，
∴△PAM是等边三角形，
∴AM=PM，∠M=∠ACD=60°，
∴PM∥CD，
∴∠PCD+∠CPM=180°，
∵PC=PQ，
∴∠PCQ=∠PQC，
∵∠PQC+∠PQD=180°，
∴∠CPM=∠PQD，
∴△PCM≌△PQD，
∴CM=PD，PM=QD=AM，
∵CM=AC+AM=AB+QD，
∴PD-DQ=AB．
②结论：DQ-PD=AB．
理由：如图③中，在DQ上截取DM=DP，连接PM．
∵∠B=∠ADC=120°，
∴∠PDM=60°，∵DP=DM，
∴△PDM是等边三角形，
∴PD=PM，∠PMC=∠PDQ=60°，
∵PC=PQ，
∴∠PCM=∠Q，
∴△PCM≌△PQD，
∴CM=DQ，
∴CD+DM=DQ，
∴AB+PD=DQ，
∴DQ-PD=AB．
点评 本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
练习册系列答案
相关题目
13．费尔兹奖是国际上享有崇高荣誉的一个数学奖项，在国际数学家大会上颁给有卓越贡献的年龄不超过四十岁的年轻数学家，美籍华人丘成桐1982年获费尔兹奖，下面的数据是截至2014年56名费尔兹奖得主获奖时的年龄：
29 39 35 33 39 28 33 35 31 31 37 32 38 36
31 39 32 38 37 34 29 34 38 32 35 36 33 29
32 35 36 37 39 38 40 38 37 39 38 34 33 40
36 36 37 40 31 38 38 40 40 37 35 40 39 37
根据以上信息将下面的频数分布表补充完整：
29 39 35 33 39 28 33 35 31 31 37 32 38 36
31 39 32 38 37 34 29 34 38 32 35 36 33 29
32 35 36 37 39 38 40 38 37 39 38 34 33 40
36 36 37 40 31 38 38 40 40 37 35 40 39 37
根据以上信息将下面的频数分布表补充完整：
| 分组 | 划记 | 频数 |
| 25≤x＜30 |  | 4 |
| 30≤x＜35 | 正正正 | 15 |
| 35≤x＜40 | 正正正正正正一 | 31 |
| 40≤x＜45 | 正一 | 6 |
如图，半径为3cm的⊙O上，依次有A，B，C三个点，若四边形OABC为菱形，则弦AC所对的弧长为2π或4πcm．
如图，直线y=-x+5与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）相交于A，B两点，与x轴交于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，△BDC的面积是$\frac{1}{2}$，则k的值为（ ）
如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D．给出下列结论：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D的切线交BC于点E．