Question

14．已知关于x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²+3=0
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若方程有两个实数根x₁，x₂，且x₁²+x₂²=25，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由方程有实数根即可得出△=-4m-11≥0，解之即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x₁+x₂=-（2m-1）、x₁•x₂=m²+3，结合x₁²+x₂²=25即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再由（1）中m的取值范围即可确定m的值．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²+3=0有两个实数根，
∴△=（2m-1）²-4×1×（m²+3）=-4m-11≥0，
解得：m≤-$\frac{11}{4}$．
∴m的取值范围为m≤-$\frac{11}{4}$．
（2）∵方程x²+（2m-1）x+m²+3=0的实数根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-（2m-1），x₁•x₂=m²+3．
又∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=25，
∴[-（2m-1）]²-2（m²+3）=25，
解得：m₁=-3，m₂=5．
∵m≤-$\frac{11}{4}$，
∴m的值为-3．

点评 本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）由根与系数的关系结合x₁²+x₂²=25，找出关于m的一元二次方程．