Question

3．如图，直线AB、AC交于点A，直线AB与两轴分别交于点B和点G，直线AC与两轴分别交于点C和点D，AE⊥y轴，垂足为点E，AF⊥x轴，垂足为点F，点A的坐标为（4，2），点D的坐标为（2，0），△ABC的面积为16．结合图象解答下列问题：
（1）求直线AB的解析式；
（2）当x为何值时，两个一次函数的函数值都大于0？

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求得直线AC的函数解析式，得出C点坐标，利用△ABC的面积为16得出B点坐标，进一步利用待定系数法求得AB的函数解析式；
（2）求得两个一次函数与x轴的交点坐标，利用图象直接得出答案即可．

解答 解：（1）设直线AC的解析式y=kx+b，把点A（4，2），点D（2，0）代入得
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=2}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
所以直线AC的解析式y=x-2；
则点C（0，-2）；
∵AE⊥y轴，
∴AE=4，
设B（0，m），则BC=m+2，
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AE=2（m+2）=16，
∴m=6，
∴点B（0，6），
设直线AB的解析式y=k′x+b′，
把点A（4，2），B（0，6）代入得
$\left\{\begin{array}{l}{4k′+b′=2}\\{b′=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k′=-1}\\{b′=6}\end{array}\right.$．
直线AB的解析式y=-x+6；
（2）直线AB的解析式y=-x+6，
令y=0，解得x=6，
点G为（6，0），
由图象可知：当2＜x＜6时，两个一次函数的函数值都大于0．

点评 此题考查一次函数相交的问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，掌握待定系数法求函数解析式是解决问题的关键．