题目内容

问题探究：如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，为探究Rt△ABC中30°角所对的直角边AC与斜边AB的数量关系，学习小组成员已经添加了辅助线．
（1）请叙述辅助线的添法，并完成探究过程；
探究应用1：如图2，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，点D在线段CB上，以AD为边作等边△ADE，连接BE，为探究线段BE与DE之间的数量关系，组长已经添加了辅助线：取AB的中点F，连接EF．
（2）线段BE与DE之间的数量关系是
 
；并说明理由；
探究应用2：如图3，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，点D在线段CB的延长线上，以AD为边作等边△ADE，连接BE．
（3）线段BE与DE之间的数量关系是
 
，并说明理由．
考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形
专题：
分析：（1）如图1，作BC的垂直平分线PD交AB、BC于P、D，就可以得出PC=PB，∠PCB=∠B=30°，∠ACP=60°，得出△ACP是等边三角形，就可以得出AP=AC=PB=
1
2
AB，进而得出结论；
（2）如图2，由等边三角形的性质及直角三角形的性质就可以得出△ACD≌△AFE，就可以得出∠C=∠AFE=90°，由垂直平分线的性质就可以得出结论BE=DE；
（3）如图3，取AB的中点F，连接EF，由等边三角形的性质及直角三角形的性质就可以得出△ACD≌△AFE，就可以得出∠C=∠AFE=90°，由垂直平分线的性质就可以得出结论BE=DE．
解答：解：（1）如图1，作CB的垂直平分线分别交AB、BC于P、D，
∴PC=PB，
∴∠PCB=∠B=30°．
∵∠ACB=90°，
∴∠A=60°，∠ACP=60°，
∴∠APC=∠A=∠ACP=60°，
∴△ACP是等边三角形，
∴AC=AP=PC．
∴AC=AP=PB=
1
2
AB，
即AC=
1
2
AB；．
（2）BE=DE．
理由：如图2，∵F是AB的中点，
∴AF=
1
2
AB．
∵∠C=90°，∠ABC=30°，
∴AC=
1
2
AB，∠CAB=60°．
∴AC=AF．
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE=DE，∠EAD=60°，
∴∠CAB=∠DAE，
∴∠CAB-∠3=∠DAE-∠3，
∴∠1=∠2．
在△ACD和△AFE中，
AC=AF
∠1=∠2
AD=AE
，
∴△ACD≌△AFE（SAS），
∴∠C=∠AFE=90°，
∴EF⊥AB．
∵F是AB的中点，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴BE=DE．
故答案为：BE=DE；
（3）BE=DE．
理由：如图3，取AB的中点F，连接EF，
∴AF=
1
2
AB．
∵∠C=90°，∠ABC=30°，
∴AC=
1
2
AB，∠CAB=60°．
∴AC=AF．
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE=DE，∠EAD=60°，
∴∠CAB=∠DAE，
∴∠CAB-∠2=∠DAE-∠2，
∴∠1=∠3．
在△ACD和△AFE中，
AC=AF
∠1=∠3
AD=AE
，
∴△ACD≌△AFE（SAS），
∴∠C=∠AFE=90°，
∴EF⊥AB．
∵F是AB的中点，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴BE=DE．
故答案为：BE=DE．
点评：本题考查了直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，垂直平分线的性质的运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
练习册系列答案
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2
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3
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．

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